den reelle tall utgjør mest brukte tallsett i matematikk og i hverdagen. De inkluderer rasjonelle og irrasjonelle tall og spenner fra tallene vi bruker til å telle, måle eller betale, til de som forekommer i avanserte konsepter som kalkulus eller fysikk. Ethvert tall som kan representeres i en kontinuerlig tallinje, enten det er heltall, brøktal eller med uendelige desimaler, er en del av de reelle tallene.
Denne gruppen oppsto historisk sett fra behovet for å beskrive nøyaktig Mengder som ikke kunne uttrykkes med tallene som var kjent på den tiden. Vage uttrykk som «svært liten» eller «nesten null» viste seg å være utilstrekkelige for den grundige utviklingen av matematisk analyse, noe som førte til formaliseringen av begrepene grense og reelt tall. Mange historikere plasserer prosessene med forbedring og formalisering av begrepet mellom 1400- og 1600-talletselv om den moderne og strenge definisjonen ble konsolidert senere.
Selv om gamle sivilisasjoner som den egyptiske allerede brukte fraksjoneneDet var grekerne som studerte begrepet «tall» på en mer filosofisk måte. Den pytagoreiske skolen hevdet at «alt er tall», og da de prøvde å uttrykke bestemte lengder (som diagonalen i et kvadrat) oppdaget de at Ikke alle mengder kan skrives som brøkdeler av heltall.Fra dette oppstår de irrasjonale tallene, som senere skulle fullføre settet med reelle tall.
Hva er reelle tall, og hvordan blir de representert?
Reelle tall er definert som alle tallene som korresponderer med et punkt på den reelle tallinjenDenne linjen strekker seg uten grense til venstre (negative verdier) og til høyre (positive verdier), inkludert null, brøker, endelige desimaler og uendelige repeterende og uendelige ikke-repeterende desimaler.
Dette settet er vanligvis betegnet med bokstaven R eller symbolet ℝFormelt kan settet med reelle tall beskrives som foreningen av to hoveddelmengder: rasjonelle tall (Q) og irrasjonelle tall (I). Jeg mener ℝ = Q ∪ I.
Eksempler på reelle tall er: 5, 0, −9, 3/4, −7/2, 3,45, 0,333… (1/3), √2, √10, π, eblant mange andre. Alle kan plasseres på den reelle tallinjen ved hjelp av et veldefinert punkt.
Videre er reelle tall en delmengde av komplekse tallKomplekse tall er representert som a + bi, hvor a og b er reelle tall og ei er den imaginære enheten (kvadratroten av −1). Når b = 0, samsvarer det komplekse tallet a + 0i med et reelt tall, så ethvert reelt tall kan sees på som et komplekst tall med en imaginær del null.
Klassifisering av reelle tall etter type
Klassifiseringen av reelle tall er vanligvis organisert i flere nestede delmengder. De vanligste er naturlige tall, hel, rasjonell e irrasjonellI stor skala, innenfor ℝ finner vi to store grupper: rasjonell e irrasjonellOg innenfor de rasjonelle tallene finnes det naturlige tall, heltall og brøktall.
1. Rasjonelle tall
Kalt rasjonelle tall til alle som kan bli representert som kvotienten av to heltallDet vil si, som en brøk p/q hvor p og q er heltall og q ≠ 0. Dette settet er representert av bokstaven QRasjonelle tall inkluderer positive tall, negative tall og nullDerfor dekker de et bredt spekter av størrelsesordener.
Et rasjonelt tall kan skrives som en brøk, men det kan også fremstå som nøyaktig desimal (for eksempel 3,5), ren repeterende desimal (0,7777…) eller blandet repeterende desimal (2,58333…). Ethvert av disse tilfellene tillater alltid en representasjon som en brøkdel av heltall.
Rasjonelle tall omfatter begge deler hel som brøkdelDerfor er ethvert heltall (−3, 0, 5…) også rasjonelt, siden det kan skrives som p/1. Dette betyr at ℤ er en delmengde av Q.
Rasjonelle tall lar oss utføre operasjoner uten å forlate mengden av addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon (unntatt divisjon med null). Derfor sies Q å være lukket for disse operasjonene.
a) Heltall
den heltall er settet dannet av naturlige tall, Its negative motsetninger og CeroDe er representert av bokstaven Z og inkluderer verdier som …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
På en tallinje vises positive heltall ved til høyre for null, null opptar sentralt punkt og negative heltall plasseres ved venstreDenne ordningen gjør det enkelt å sammenligne størrelsen deres: jo lenger til høyre, jo større tallet.
- De blir kalt naturlige tall som vi bruker til telle elementer eller angir rekkefølge (1, 2, 3, …). De er positive heltall og er vanligvis betegnet med bokstaven N.
- El Cero representerer en nullverdiEn null legger ikke til noen verdi når den står alene, men plasseringen i et tall endrer verdien fullstendig. En null til høyre for et siffer multipliserer verdien med ti (2 blir 20), mens den til venstre ikke endrer tallet (02 er lik 2).
- den negative heltall De representerer situasjoner som er motsatt av naturlige, som for eksempel gjeld, minusgrader o nivåer under en referanseFor å navngi dem plasseres ordet «minus» foran tallet: «minus fire» skrives −4.
Heltallene er lukket under addisjon, subtraksjon og multiplikasjonEn operasjon mellom to heltall resulterer alltid i et annet heltall. Delingen av to heltall kan imidlertid resultere i et tall som ikke er et heltall (for eksempel 3/4), så de er ikke lukket under divisjon.
b) Brøkdel
Rasjonelle tall inkluderer også brøkdeler, som oppsto for løse distribusjonsproblemer når divisjon av naturlige tall ikke ga et heltallsresultat.
Et brøkdeltall er et uttrykk som angir divisjon av én mengde med en annenDen består av en teller (beløpet som deles) og en nevner (hvor mange deler den er delt inn i), atskilt med en horisontal eller diagonal strek.
Selv om ethvert heltall kan sees på som en brøk med nevner 1, skilles det i denne delen spesielt mellom ekte og uekte brøker:
- Las ekte brøker Dette er de der telleren er menor enn nevneren. De representerer mengder mindre enn én, for eksempel 3/5.
- Las upassende brøker ha en teller større enn eller lik enn nevneren, som angir en mengde større enn eller lik én, for eksempel 7/4 eller 5/5.
Videre kan mange rasjonelle tall også skrives som eksakte eller repeterende desimalerDermed tilsvarer et tall som 0,25 1/4 (nøyaktig desimal), mens 0,333… tilsvarer 1/3 (ren periodisk desimal).
2. Irrasjonelle tall
den irrasjonelle tall De er det De kan ikke uttrykkes som en brøkdel av to heltallDens desimalrepresentasjon er alltid uendelig og ikke-periodisk: desimaltallene fortsetter uten å gjenta seg i et fast mønster.
Klassiske eksempler er tall π (forholdet mellom lengden på en omkrets og dens diameter), den nummer og (grunnlaget for naturlige logaritmer), den det gylne snitt φ eller røttene til primtall som ikke er perfekte kvadrater, for eksempel √2, √3, √5, √7, osv.
Historisk sett oppsto irrasjonelle tall da en disippel av Pythagoras forsøkte å uttrykke diagonalen til et kvadrat med sidelengde 1 som en brøk, og oppdaget at Det fantes ikke to heltall p og q slik at p/q = √2Til tross for den pythagoreiske skolens innledende motstand, viste dette funnet at settet med rasjonelle tall ikke var tilstrekkelig til å beskrive alle geometriske størrelser.
Irrasjonelle vesener kan sees på som komplementet til de rasjonelle tallene innenfor de reelle talleneDet vil si at hvis vi kaller Q for mengden med rasjonelle tall og ℝ for mengden med reelle tall, kan mengden med irrasjonelle tall beskrives som ℝ − Qalle reelle tall som ikke er rasjonelle.
Videre skilles det mellom to viktige typer irrasjonelle tall: algebraisk y transcendent.
- den algebraiske tall er de som er en løsning på noen algebraiske ligninger med heltallskoeffisienter. For eksempel er √2 irrasjonell og algebraisk, fordi den er en løsning av x² − 2 = 0.
- den transcendente tall De kan ikke oppnås som løsninger til noen algebraisk ligning med heltallskoeffisienter. De uttrykkes ikke av et endelig antall røtter, og desimaltallene følger ikke noe gjenkjennelig mønsterDisse inkluderer π og e.
Grunnleggende egenskaper ved reelle tall
Mengden av reelle tall lar oss utføre operasjoner med addisjon og multiplikasjon oppfyller en rekke egenskaper som forenkler beregning og matematisk resonnering. Blant de viktigste er låsden kommutativitetden assosiativitetden eksistensen av nøytrale elementer og eksistensen av inverse.
Låse
Eiendommen til lås indikerer at summen eller produktet av to reelle tall alltid er et annet reelt tallHvis a og b tilhører ℝ, så tilhører også a + bya·b ℝ. Dette lar oss operere uten å forlate mengden, noe som er essensielt for utviklingen av algebra og analyse.
Kommutativ egenskap
La kommutativ eiendom Den sier at resultatet av å addere eller multiplisere to reelle tall Det avhenger ikke av rekkefølgen hvor operasjonen utføres. Det vil si a + b = b + aya·b = b·a for alle reelle tall a og b. Denne egenskapen forenkler beregninger og skriving av uttrykk i stor grad.
Assosiativt eierskap
La assosiativ egenskap indikerer at når man adderer eller multipliserer tre eller flere reelle tallMåten de er gruppert på påvirker ikke resultatet. I symboler: (a + b) + c = a + (b + c) og (a·b)·c = a·(b·c). Takket være dette kan lange operasjoner omorganiseres for å gjøre dem enklere å løse.
Nøytralt element
I de reelle tallene er det to nøytrale elementer fundamental:
- El Cero er nøytralt tilsetningsstofffordi det å legge det til et hvilket som helst reelt tall ikke endrer verdien: a + 0 = a.
- El uno er multiplikativ identitet, siden det å multiplisere det med et hvilket som helst reelt tall gir det samme tallet: a·1 = a.
Additiv og multiplikativ invers
For hvert reelt tall finnes det et additiv invers og, med unntak av null, en multiplikativ invers:
- El additiv invers Den additive identiteten til et tall a er −a, fordi når de legges sammen, får man den additive identiteten: a + (−a) = 0.
- El multiplikativ invers o gjensidig av et tall a ≠ 0 er 1/a, siden a·(1/a) = 1.
Reelle tall på tallinjen og i hverdagen
Ethvert reelt tall kan representeres av et punktet på tallinjenHvert punkt på den linjen tilsvarer et unikt reelt tall. Denne én-til-én-korrespondansen lar oss visualisere operasjoner som addisjon (forskyvninger til høyre eller venstre), subtraksjon, ulikheter og avstander.
På den reelle tallinjen, rekkefølgen på tallene bestemmes av posisjonen: jo lenger til høyre et punkt er, Jo større tallet assosiert; jo lenger til venstre, jo mindre den blirDet finnes ikke noe «siste» positivt eller negativt reelt tall, siden mengden ℝ inneholder uendelige elementer i begge retninger.
I hverdagen brukes reelle tall stadig vekk: for måle lengder (meter, centimeter), ekspresstemperaturer (positive og negative grader), beregne tider, administrere penger (saldoer, gjeld, renter), sammenligne tidsplaner o analysere data i statistikk og økonomi.
Innen vitenskapelig og teknologisk felt er reelle tall grunnlaget for differensial- og integralregningden klassisk og moderne fysikkden prosjekteringden datamaskiner og mange andre disipliner. Mengder som fart, akselerasjon, energi eller intensitet uttrykkes med reelle tall, og korrekt håndtering av dem muliggjør modellering av komplekse fenomener.
Å forstå klassifiseringen av reelle tall, deres delmengder og egenskaper forenkler ikke bare studiet av matematikk, men også Det styrker logisk og abstrakt resonnering.Det bidrar til å strukturere tenkningen og forbedrer evnen til å løse problemer i svært forskjellige sammenhenger.