Det er en tredimensjonal geometrisk figur som består av to identiske parallelle polygoner som baser og sideflater som er parallellogrammer. De får et spesifikt navn i henhold til antall sider som danner basen deres. Hvis for eksempel basene har tre sider, vil det være en trekantet prisme, fire rektangulære sider, fem femkantede sider, osv.
Temaet for hånden er spesifikt alt relatert til femkantet prismeDet er imidlertid nødvendig å kjenne til de fellestrekkene ved prismer generelt for å kunne studere dem på en trygg måte, tolke formlene deres og gjenkjenne dem i geometriøvelser og -problemer.
Generelle egenskaper ved et prisme
Et prisme det er en slags polyederDet vil si en tredimensjonal figur dannet av et endelig antall flate polygoner som fungerer som flater. Alle prismer deler en felles struktur som bør forstås før man analyserer en bestemt type (trekantet, firkantet, femkantet osv.).
Elementer som utgjør et prisme:
- Baser Er to parallelle og like polygoner som danner bunnen og toppen av prismet. Antall sider kan variere, og det er nettopp dette som gir prismet navnet sitt. Hvis for eksempel bunnen har fem sider, kaller vi det et femkantet prisme.
- Side ansikter: er parallellogrammer som skiller den nedre basen fra den øvre basen og forbinder hver side av den nedre basen med den tilsvarende siden av den øvre basen.
- Høyde: Er vinkelrett avstand som finnes mellom de to basene. I rette prismer faller den sammen med lengden på hver sidekant.
- Kanter: Hver av sidene av polygonene som danner basene kalles kantene på basenOg hver av sidene av sideflatene kalles individuelt sidekantSammen definerer kantene prismens «struktur».
- Vertex: Hver av punkter der flere kanter møtes Det kalles et toppunkt. I et prisme møtes tre flater i hvert toppunkt.
Geometri og notasjon av et prismeDet representeres vanligvis ved å navngi den nedre basen først og deretter den øvre basen. For eksempel, i et femkantet prisme, kan hjørnene på den nedre basen merkes A, B, C, D, E og hjørnene på den øvre basen F, G, H, I, J, slik at hver sidekant forbinder et par tilsvarende hjørner (A til F, B til G, osv.). Denne notasjonen er veldig nyttig for beskrive kanter, flater og seksjoner når du løser problemer.
Klassifisering av prismer
Et prisme er klassifisert basert på flere egenskaper: formen på basene deres, lengden på sidene deres, orienteringen av sideflatene deres og de indre vinklene på basene deres. Å forstå disse klassifiseringene vil hjelpe deg med å identifisere hvilken type prisme vises i en øvelse og hvilken formel du bør bruke.
Et prisme klassifiseres i henhold til egenskapene til basene i:
- Regular: Det er en hvis base er en vanlig polygonDet vil si en polygon der alle sidene er like lange, og de indre vinklene har samme mål. I et regulært femkantet prisme er de to grunnflatene regulære femkanter.
- Uregelmessig: Det er den hvis baser er representert av polygoner med forskjellige sider og indre vinkler med hverandre. Hver side kan ha forskjellig mål, og de indre vinklene trenger ikke å være like.
Basert på antall sider basene deres har, klassifiseres de som følger:
- Trekantet 3 sider
- Firkantet 4 sider
- Femkantede 5 sider
- Hex 6 sider
- Heptagonal 7 sider
- Åttekantede 8 sider
- 9-sidig eneagon eller nonagon
- Dekagon med 10 sider ... og så videre.
Generelt sett, hvis basen er en polygon av N-sider, vil vi snakke om en N-gonalt prismeI det spesifikke tilfellet som interesserer oss, er N = 5, og vi får det femkantede prismet.
I følge deres sideansikter er de klassifisert i:
- Høyre prisme: Det er han som har så mange sideflater slik basen er formet. Sideflatene er rektangulær (eller firkanter i noen spesielle tilfeller) og sidekantene er vinkelrett til basene. I disse prismene sammenfaller høyden med lengden på hver sidekant.
- Skrå: Et skrått prisme har ikke vinkelretthet i sideflatene i forhold til basen. Sideflatene er romboider (skrå parallellogrammer). De har den spesielle egenskapen at deres Altura (vinkelrett avstand mellom basene) samsvarer ikke med verdien av sidekantene, som er skråstilt.
I henhold til deres indre vinkler er de klassifisert i
Konkaver: Et prisme kan klassifiseres som konkav Når de indre vinklene er større enn 180°. På grunn av den uregelmessige formen, som gir inntrykk av en spalte inne i prismet, kan det skjæres i mer enn ett punkt hvis vi går gjennom det med en rett linje. Basen i disse tilfellene er en konkav polygon.
Konveks: Et prisme er konveks når de indre vinklene er mindre enn 180°, og dessuten når en rett linje går gjennom den, skjærer den bare i to punkter. De fleste prismer som studeres i elementær geometri, inkludert vanlig femkantet prisme, er konvekse.
Femkantet prisme
Nå er vi klare til å lære mer om det femkantede prismet. Etter å ha identifisert egenskapene som er felles for alle prismer, skal vi dykke spesifikt ned i femkantet prismeEt femkantet prisme er et prisme med baser like og parallelle femkanter og fem parallellogrammer som danner sideflatene.
Fra polyederperspektiv er det femkantede prismet et 7-sidig polyeder (2 femkantede og 5 sideflater). Hvis basene er regulære femkanter og sideflatene er rektangler, snakker vi om en rett regulært femkantet prismeHvis basene er uregelmessige eller sideflatene er skråstilte, vil det bli ansett som uregelmessig eller skrå, etter hva som er passende.
funksjoner
Det femkantede prismet har følgende grunnleggende egenskaper som bør huskes, fordi de ofte dukker opp i problemer som involverer telling av flater, hjørner og kanter:
- BaserDen har to parallelle og like femkanter. Disse basene er kongruentDet vil si identiske i størrelse og form, og definerer prismets omriss.
- CarasDen har fem sideflater pluss de to basene; totalt er det syv ansikterSideflatene er parallellogrammer (rektangler hvis prismet er riktig).
- Altura. Er den avstanden mellom de to baseneI det høyre femkantede prismet sammenfaller det med lengden på hver sidekant; i det skrå gjør det ikke det.
- Vertex. Dette er punktene på prismet der tre av flatene møtes; totalt er det 10 hjørner5 på den nedre basen og 5 på den øvre basen.
- Kanter. Dette er segmentene der to av prismets flater møtes; totalt har det 15 kanter5 på den nedre basen, 5 på den øvre basen og 5 sidekanter som forbinder dem.
Ifølge Eulers teorem Det er et sammenhengende forhold mellom antall flater (C), kantene (A) og hjørnene (V) til ethvert prisme hvis indre vinkler måler mindre enn 180° (konveks).
For konvekse polyedre gjelder følgende forhold:
V − A + C = 2
Ved å bruke den ekvivalente formelen A = C + V − 2, kan antall kanter av et femkantet prisme finnes:
A = 7 + 10 − 2 = 15
Dette forholdet er svært nyttig for sjekk om du har telt riktig flater, kanter eller hjørner i et problem. Hvis du setter inn dataene i Eulers formel og ikke får 2, er det en feil i tellingen.
hvordan Beregn arealet til et vanlig femkantet prisme
Når det femkantede prismet er regelmessig og rettDen har regelmessige femkantede baser og like rektangulære sideflater. Derfor er det spesielt enkelt å beregne det totale arealet fordi alle sidene av basen måler like.
I et regulært femkantet prisme arbeider vi med disse størrelsene:
- L: måling av en av sidene i grunnfemkanten.
- ap. (apotem): korteste avstand fra sentrum av femkanten til noen av dens sider.
- hPrismets høyde (lengden på sidekantene i det høyre prismet).
Totalt overflateareal av et regulært femkantet prisme:
Areal = 5 · L · (ap. + h)
Dette uttrykket oppsummerer summen av arealene til to baser pluss området lateral:
- Areal av en base (regelmessig femkant): Ab = (5 · L · ap.) / 2.
- Arealet av de to basene: 2 · Ab = 5 · L · ap.
- Omkretsen av basen: P = 5 · L.
- Lateralt område: Al = P · h = 5 · L · h.
Legger til: 2 · Ab + Al = 5 · L · ap. + 5 · L · h = 5 · L · (ap. + h), som er den forrige formelen. Merk at nøkkelen er i base omkrets, som multipliserer både apotemet (for å danne basene) og høyden (for å danne sidelinjen).
Hvordan finner du verdien av ap (apotem) til et femkantet prisme?
Apotemet er en variabel som ikke er like lett synlig som de andre, men den er avgjørende for å beregne arealet av grunnflaten når femkanten er regelmessig. Heldigvis kan vi utlede den fra antall sider og lengden på hver side.
Når vi kjenner antall sider (N) og lengden deres (L), beregner vi først sentral vinkel som dannes mellom sentrum av polygonen og to påfølgende hjørner:
θ = 360° / N
Eksempel: sentralvinkelen til en regulær femkant:
θ = 360° / 5 = 72°.
Deretter finnes apotemet ved hjelp av trigonometri. Hvis vi tegner en likebenet trekant som forbinder sentrum av femkanten med to påfølgende hjørner, og det å dele den på høyden resulterer i en rettvinklet trekant med en grunnlinje på L/2 og en spiss vinkel på θ/2. I denne trekanten er apotemet tilstøtende side til vinkelen θ/2.
Derfor kan vi bruke:
ap. = (L / 2) / tan(θ / 2)
Eller skrevet som i originalteksten:
ap = L / (2 × tan (θ / 2))
Detaljert eksempel: Gitt et femkantet prisme med sider som måler 20 cm og en høyde på 30 cm, la oss finne arealet. Vi vet allerede at den sentrale vinkelen til en regulær femkant måler 72°. La oss finne dens apotem:
θ = 72°
ap = L / (2 × tan (θ / 2))
ap = 20 / (2 × tang (72 / 2))
ap = 20 / (2 × tan (36°))
ap = 20 / (2 × 0,73) (tilnærmet tang(36°) ≈ 0,73)
ap = 20 / 1,46
ca. ≈ 13,69 cm
Nå har vi alle dataene for å bestemme det totale arealet:
Areal = 5 × L × (ap + h)
Areal = 5 × 20 × (13,69 + 30)
Areal = 100 × 43,69
Areal ≈ 4369 cm²
Merk at dette resultatet representerer totalt areal av prismet (lateralt areal + to baser). I mange øvelser vil du bli spurt om separat sideareal og areal av basene; bruk ganske enkelt formlene som allerede er nevnt:
- Lateralt område: H = 5 · L · h = 5 · 20 · 30 = 3000 cm².
- Arealet av to baser: 2 Ab = 4369 − 3000 = 1369 cm².
Område med et uregelmessig femkantet prisme
Når basen ikke er en regulær femkant, men en femsidig polygon med forskjellige lengder og vinkler, er prismet et uregelmessig femkantet prismeI dette tilfellet krever beregning av arealet ytterligere trinn, fordi vi ikke lenger kan bruke formelen for en regulær femkant med apotem.
Gitt at et uregelmessig femkantet prisme har to uregelmessige femkanter som base, er det nødvendig å finne arealet av den uregelmessige femkanten (Ab), hans perimeter (Pb) og Altura av prismet for deretter å beregne arealet av prismet.
Formelen for et uregelmessig femkantet høyre prisme er:
Prismeareal = 2 · Ab + Pb · h
Området til basen uregelmessig femkant (Ab) finnes ved hjelp av trianguleringsmetodesom betyr å dele den inn i mindre trekantede figurer for å beregne arealene deres og dermed lettere få det totale arealet av femkanten ved å legge dem sammen.
I praksis, for å anvende trianguleringsmetode Du følger disse konseptuelle trinnene:
- Forbind ett hjørne av femkanten med alle de andre (unntatt de tilstøtende hjørnene) for å dele figuren inn i tre trekanter.
- Beregn arealet av hver trekant ved hjelp av en passende formel (for eksempel, base × høyde / 2 o Herons formel hvis du kjenner de tre lengdene på sidene).
- Legg sammen arealene av trekantene for å få det totale arealet av den uregelmessige femkanten.
Omkretsen av en femkant med uregelmessig grunnflate (Pb) Den finnes ved å legge sammen lengdene på de fem sidene. Denne verdien er viktig for å beregne lateralt områdesiden hver sideflate har en av disse sidene som base, og prismets høyde er den samme som sin høyde.
Område med et skrått femkantet prisme
Formelen for å beregne arealet av denne typen prisme er forskjellig fra formelen for et rett femkantet prisme, fordi sideflatene er skråstilt og de danner ikke lenger bare rektangler med base lik siden av basen og høyde lik høyden på prismet.
Arealet av basene beregnes på samme måte som for et rett prisme (avhengig av om femkanten er regelmessig eller uregelmessig). Forskjellen ligger i sidene, som er skråstilt.
Det laterale arealet av et skrått femkantet prisme er relatert til målet på a sidekant og omkretsen av prisme rett seksjon.
Skjæringspunktet mellom et plan og prismet som danner en 90° vinkel med hver av sidekantene er prisme rett seksjonDet vil si at det er den flate basen som observeres når prismet deles på tvers med et snitt vinkelrett på sidekantene.
For å finne den grafiske representasjonen av rett del av et skrått prisme For ethvert objekt kan følgende prosedyre følges: plasser vinkelhaken mot en av dens sidekanter, og tegn en linje som når den tilstøtende kanten, i en 90° vinkel, og så videre med de andre kantene. Når denne prosedyren er fullført, kan overflaten som utgjør tverrsnittet visualiseres på planet.
Areal = 2 · Ab + Psr · a
Hvor Ab er området av basen, psr er omkretsen av den rette seksjonen av prismet og a er en sidekant (den skråstilte lengden mellom de to basene).
For å bestemme omkretsen av en rett seksjon, tegn ganske enkelt en rett vinkel på en av kantene ved 90°, mål avstanden fra den kanten til skjæringspunktet med en parallell kant, og legg til denne avstanden fem ganger. Denne avstanden representerer sidelengden til den rette seksjonen, og ved å multiplisere den med 5 får du... psr i tilfellet med det femkantede prismet.
Volum av et femkantet prisme
For å beregne volumen For både høyre og skrå femkantede prismer gjelder den generelle formelen for alle typer prismer: multipliser arealet av basen (Ab) med målet på Altura (h).
Volum = Ab · t
Hvis det femkantede prismet er regelmessig, kan vi erstatte Ab med dens spesifikke formel:
Ab = (5 · L · ap) / 2
Da blir volumet:
Volum = (5 · L · ap / 2) · t
Husk at i en høyre prisme høydemålet er lik målingen av sidekanten, mens i en skrå prisme Høyden på et prisme samsvarer ikke med lengden på sidekanten, uavhengig av prismetype. Det er svært viktig å være forsiktig så man ikke blander disse to konseptene, fordi en feil her endrer resultatet av volumberegningen fullstendig.
Mange applikasjonsøvelser kan for eksempel be deg om å beregne kapasiteten til en femkantet prismeformet beholder eller mengden materiale som kreves for å konstruere den. I slike tilfeller:
- Du bruker volumen å relatere det til kapasiteter (liter, kubikkmeter osv.).
- Du bruker totalt areal å vite hvor mye overflateareal som skal dekkes med materiale (papp, metall, plast…).
Hvordan lage et rett, regulært femkantet prisme
For å konstruere et rett regulært femkantet prisme på papir eller papp, er det nyttig å først vite noen fakta om geometrien til femkanten:
θint = 108° er innvendig vinkel som dannes mellom to av sidene av basisfemkanten (fast mål for en regulær femkantet figur).
L = siden av femkanten
H = prismens høyde
Femkantet baseslag
Før du begynner å tegne prismet, må du definere dets baser. På en enkel og ikke altfor teknisk måte vil jeg forklare hvordan du lager en regulær femkantet figur ved å bruke bare linjal, vinkelhake og gradskive.
- Tegn en rett linje som skal fungere som utgangspunkt (fig. 1). Sørg for at linjen er litt lengre enn ønsket lengde på hver side av femkanten, slik at du kan jobbe komfortabelt.
- Merk av ønsket lengde på sidene i femkanten din, linje (ab) (fig. 2). Dette vil være første kant av den femkantede basen.
- Med hjelp av en gradskive, hvilende på punktet “a"Og til venstre, finn 108°-vinkelen. Tegn en linje mellom «a» og skjæringspunktet med den funne vinkelen, og merk av det valgte målet for sidene av femkanten (linje ac) på den (fig. 3). Dette gir deg den andre siden."
- Start ved punkt b og beveg deg mot høyre, og gjenta samme prosedyre som før for å finne den andre siden (linje bd) (fig. 4). Husk å alltid beholde samme sidelengde L slik at femkanten er regelmessig.
- Fokuser deretter på punkt «c», alltid med en vinkel på 108°, og tegn (linjen ce) (fig. 5). Merk av samme lengde L igjen.
- Til slutt kobler du sammen punktene ed som danner den manglende siden. Den skal automatisk ha en vinkel på 108° (fig. 6). Hvis du har vært nøyaktig med vinkelmåleren og linjalen, vil femkanten være regelmessig.
Denne geometriske figuren har mer tekniske og presise metoder for konstruksjonen (for eksempel bruk av kompasskonstruksjoner basert på den omskrevne sirkelen), men her forklarer jeg den på en enkel måte ved kun å bruke grunnleggende tegneverktøy.
Hvor vellykket prismekonstruksjonen din blir, vil i stor grad avhenge av nøyaktighet i utformingen av baseneEn liten feil i vinkelen eller lengden på en side kan føre til at prismets flater ikke passer ordentlig sammen senere.
Nøyaktigheten til konstruksjonen av den femkantede basen din vil avhenge av dine ferdigheter og kunnskap om måleverktøyene jeg foreslår: en linjal, vinkelhake og gradskive. Ta deg tid til å måle hvert segment nøye og marker vinklene nøyaktig.
Prisme spor
Når du har den femkantede grunnflaten, kan du gå videre til å designe flat utvikling av prismet, som er figuren du skal klippe ut og brette for å sette den sammen i tre dimensjoner.
- Tegn en lang rett linje som vil tjene som en base for å begynne å tegne den laterale utviklingen.
- På den linjen merker du målet (L) fem ganger, én etter én. Disse fem merkene representerer bredden på de fem sideflatene.
- Vinkelrett på hvert punkt, tegn vertikale linjer som representerer kantene med en høyde på (H). Dette vil gi deg fem sammenhengende rektangler.
- Forbind alle punktene med en rett linje, og du vil ha et stort rektangel delt inn i fem like store og parallelle seksjoner; disse representerer hver av sideflatene til prismet.
- På det sentrale rektangelet eller flaten, eller hvilken flate du foretrekker, tegner eller legger du til den femkantede basen både øverst og nederst. Det er viktig å tegne dette først og deretter bruke det som grunnlag for å tegne prismet for å sikre perfekt passform.
- legger tabs langs alle sider av sideflatene unntatt én. Disse tappene er det du skal bruke til å sette sammen prismet, påføre lim på dem og feste dem til de tilstøtende flatene.
- Klipp forsiktig ut designet og lim på flikene. Før du bretter, skjær alle linjene med den butte siden av saksen eller en linjal for å lage en liten brett og gjøre det lettere å brette kantene uten å rive papiret.
Denne typen byggevirksomhet er svært nyttig for studere et femkantet prismeFordi det lar deg visuelt relatere den flate utviklingen (flatene og flikene på papiret) til den tredimensjonale figuren du får når du bretter det. Dette hjelper deg å bedre forstå hvor basene er, hvor mange sideflater den har, hvorfor det er 15 kanter og hvordan hjørnene er forbundet.
Når du mestrer disse begrepene – typer prismer, elementer (flater, kanter, hjørner), areal- og volumformler og grafisk representasjon gjennom utviklinger – slutter studiet av et femkantet prisme å være noe abstrakt og blir en tydelig øvelse, hvor hver geometriske data har en konkret og visuell betydning.